高中数学等比数列教案
高中数学等比数列教案
导语：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。以下是小编整理的高中数学等比数列教案，欢迎阅读参考。
高中数学等比数列教案
教学目标
1.理解的概念，掌握的通项公式，并能运用公式解决简单的问题.
(1)正确理解的定义，了解公比的概念，明确一个数列是的限定条件，能根据定义判断一个数列是，了解等比中项的概念;
(2)正确认识使用的表示法，能灵活运用通项公式求的首项、公比、项数及指定的项;
(3)通过通项公式认识的性质，能解决某些实际问题.
2.通过对的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质.
3.通过对概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度.
教学建议
教材分析
(1)知识结构
是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，首先归纳出的定义，导出通项公式，进而研究图像，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用.
(2)重点、难点分析
教学重点是的定义和对通项公式的认识与应用，教学难点 在于通项公式的推导和运用.
①与等差数列一样，也是特殊的数列，二者有许多相同的性质，但也有明显的区别，可根据定义与通项公式得出的特性，这些是教学的重点.
②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法，但对学生来说仍然不熟悉;在推导过程中，需要学生有一定的观察分析猜想能力;第一项是否成立又须补充说明，所以通项公式的推导是难点.
③对等差数列、的综合研究离不开通项公式，因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点.
教学建议
(1)建议本节课分两课时，一节课为的概念，一节课为通项公式的应用.
(2)概念的引入，可给出几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到的定义.也可将几个等差数列和几个混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，有一种是按等差、等比来分的，由此对比地概括的定义.
(3)根据定义让学生分析的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解.
(4)对比等差数列的表示法，由学生归纳的各种表示法. 启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征画数列的图象.
(5)由于有了等差数列的研究经验，的'研究完全可以放手让学生自己解决，教师只需把握课堂的节奏，作为一节课的组织者出现.
(6)可让学生相互出题，解题，讲题，充分发挥学生的主体作用.
教学设计示例
课题：的概念
教学目标
1.通过教学使学生理解的概念，推导并掌握通项公式.
2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力.
3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度.
教学重点，难点
重点、难点是的定义的归纳及通项公式的推导.
教学用具
投影仪，多媒体软件，电脑.
教学方法
讨论、谈话法.
教学过程
一、提出问题
给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.(幻灯片)
①-2，1，4，7，10，13，16，19，…
②8，16，32，64，128，256，…
③1，1，1，1，1，1，1，…
④243，81，27，9，3，1， ， ，…
⑤31，29，27，25，23，21，19，…
⑥1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，…
⑦1，-10，100，-1000，10000，-100000，…
⑧0，0，0，0，0，0，0，…
由学生发表意见(可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类)，统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列(学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为).
二、讲解新课
请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题.假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数 这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这是我们将要研究的另一类数列——. (这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步)
(板书)
1.的定义(板书)
根据与等差数列的名字的区别与联系，尝试给下定义.学生一般回答可能不够完美，多数情况下，有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的.教师写出的定义，标注出重点词语.
请学生指出②③④⑥⑦各自的公比，并思考有无数列既是等差数列又是.学生通过观察可以发现③是这样的数列，教师再追问，还有没有其他的例子，让学生再举两例.而后请学生概括这类数列的一般形式，学生可能说形如 的数列都满足既是等差又是，让学生讨论后得出结论：当 时，数列 既是等差又是，当 时，它只是等差数列，而不是.教师追问理由，引出对的认识：
2.对定义的认识(板书)
(1)的首项不为0;
(2)的每一项都不为0，即 ;
问题：一个数列各项均不为0是这个数列为的什么条件?
(3)公比不为0.
用数学式子表示的定义.
是 ①.在这个式子的写法上可能会有一些争议，如写成 ，可让学生研究行不行，好不好;接下来再问，能否改写为 是 ?为什么不能?
式子 给出了数列第 项与第 项的数量关系，但能否确定一个?(不能)确定一个需要几个条件?当给定了首项及公比后，如何求任意一项的值?所以要研究通项公式.
3.的通项公式(板书)
问题：用 和 表示第 项 .
①不完全归纳法
.
②叠乘法
，… ， ，这 个式子相乘得 ，所以 .
(板书)(1)的通项公式
得出通项公式后，让学生思考如何认识通项公式.
(板书)(2)对公式的认识
由学生来说，最后归结：
①函数观点;
②方程思想(因在等差数列中已有认识，此处再复习巩固而已).
这里强调方程思想解决问题.方程中有四个量，知三求一，这是公式最简单的应用，请学生举例(应能编出四类问题).解题格式是什么?(不仅要会解题，还要注意规范表述的训练)
如果增加一个条件，就多知道了一个量，这是公式的更高层次的应用，下节课再研究.同学可以试着编几道题.
三、小结
1.本节课研究了的概念，得到了通项公式;
2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比;
3.用方程的思想认识通项公式，并加以应用.
四、作业 (略)
五、板书设计
1.等比数列的定义
2.对定义的认识
3.等比数列的通项公式
(1)公式
(2)对公式的认识
探究活动
将一张很大的薄纸对折，对折30次后(如果可能的话)有多厚?不妨假设这张纸的厚度为0.01毫米.
参考答案：
30次后，厚度为，这个厚度超过了世界最高的山峰——珠穆朗玛峰的高度.如果纸再薄一些，比如纸厚0.001毫米，对折34次就超过珠穆朗玛峰的高度了.还记得国王的承诺吗?第31个格子中的米已经是1073741824粒了，后边的格子中的米就更多了，最后一个格子中的米应是 粒，用计算器算一下吧(用对数算也行).
高中数学等比数列教案
等比数列的性质
知能目标解读
1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来.
2.理解等比数列的性质及应用.
3.掌握等比数列的性质并能综合运用.
重点难点点拨
重点：等比数列性质的运用.
难点：等比数列与等差数列的综合应用.
学习方法指导
1.在等比数列中，我们随意取出连续三项及以上的数，把它们重新依次看成一个新的数列，则此数列仍为等比数列，这是因为随意取出连续三项及以上的数，则以取得的第一个数为首项，且仍满足从第2项起，每一项与它的前一项的比都是同一个常数，且这个常数量仍为原数列的公比，所以，新形成的数列仍为等比数列.
2.在等比数列中，我们任取下角标成等差的三项及以上的数，按原数列的先后顺序排列所构成的数列仍是等比数列，简言之：下角标成等差，项成等比.我们不妨设从等比数列{an}中依次取出的数为ak,ak+m,ak+2m,ak+3m,…,则 = = =…=qm(q为原等比数列的公比)，所以此数列成等比数列.
3.如果数列{an}是等比数列，公比为q,c是不等于零的常数，那么数列{can}仍是等比数列，且公比仍为q;?{|an|}?也是等比，且公比为|q|.我们可以设数列{an}的公比为q,且满足 =q,则 = =q,所以数列{can}仍是等比数列，公比为q.同理，可证{|an|}也是等比数列，公比为|q|.
4.在等比数列{an}中，若m+n=t+s且m,n,t,s∈N+则aman=atas.理由如下：因为aman=a1qm-1•a1qn-1
=a21qm+n-2,atas=a1qt-1•a1qs-1=a21qt+s-2,又因为m+n=t+s,所以m+n-2=t+s-2,所以aman=atas.从此性质还可得到，项数确定的等比数列，距离首末两端相等的两项之积等于首末两项之积.
5.若{an}，{bn}均为等比数列，公比分别为q1,q2,则
(1){anbn}仍为等比数列，且公比为q1q2.
(2) { }仍为等比数列，且公比为 .
理由如下：(1) =q1q2,所以{anbn}仍为等比数列，且公比为q1q2;(2) • = ,
所以{ }仍为等比数列，且公比为 .
知能自主梳理
1.等比数列的项与序号的关系
(1)两项关系
通项公式的推广：
an=am• (m、n∈N+).
(2)多项关系
项的运算性质
若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+)，
则am•an= .
特别地，若m+n=2p(m、n、p∈N+)，
则am•an= .
2.等比数列的项的对称性
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1•an=a2• =ak• =a 2 (n为正奇数).
[答案] 1.qn-m ap•aq a2p
2.an-1 an-k+1
思路方法技巧
命题方向 运用等比数列性质an=am•qn-m (m、n∈N+)解题
[例1] 在等比数列{an}中，若a2=2,a6=162,求a10.
[分析] 解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公式，求得q,再求a10.
[解析] 解法一：设公比为q,由题意得
a1q=2 a1= a1=-
，解得 ，或 .
a1q5=162 q=3 q=-3
∴a10=a1q9= ×39=13122或a10=a1q9=- ×(-3)9=13122.
解法二：∵a6=a2q4,
∴q4= = =81,
∴a10=a6q4=162×81=13122.
解法三：在等比数列中，由a26=a2•a10得
a10= = =13122.
[说明] 比较上述三种解法，可看出解法二、解法三利用等比数列的性质求解，使问题变得简单、明了，因此要熟练掌握等比数列的性质，在解有关等比数列的问题时，要注意等比数列性质的应用.
变式应用1 已知数列{an}是各项为正的等比数列，且q≠1,试比较a1+a8与a4+a5的大小.
[解析] 解法一：由已知条件a1>0,q>0，且q≠1,这时
(a1+a8)-(a4+a5)=a1(1+q7-q3-q4)=a1(1-q3)•(1-q4)
=a1(1-q) 2(1+q+q2)(1+q+q2+q3)>0,
显然，a1+a8>a4+a5.
解法二：利用等比数列的性质求解.
由于(a1+a8)-(a4+a5)=(a1-a4)-(a5-a8)
=a1(1-q3)-a5(1-q3)=(1-q3)(a1-a5).
当0
当q>1时，此正数等比数列单调递增，1-q3与a1-a5同为负数，
∵(a1+a8)-(a4+a5)恒正.
∴a1+a8>a4+a5.
命题方向 运用等比数列性质am•an=apaq(m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q)解题
[例2] 在等比数列{an}中，已知a7•a12=5，则a8•a9•a10•a11=()
A.10B.25C.50D.75
[分析] 已知等比数列中两项的积的问题，常常离不开等比数列的性质，用等比数列的性质会大大简化运算过程.
[答案] B
[解析] 解法一：∵a7•a12=a8•a11=a9•a10=5，∴a8•a9•a10•a11=52=25.
解法二：由已知得a1q6•a1q11=a21q17=5，
∴a8•a9•a10•a11=a1q7•a1q8•a1q9•a1q10=a41•q34=(a21q17) 2=25.
[说明] 在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，若按照常规解法，往往是建立a1,q的方程组，这样解起来很麻烦，为此我们经常结合等比数列的性质，进行整体变换，会起到化繁为简的效果.
变式应用2 在等比数列{an}中，各项均为正数，且a6a10+a3a5=41,a4a8=5,求a4+a8.
[解析] ∵a6a10=a28,a3a5=a24,∴a28+a24=41.
又∵a4a8=5,an>0,
∴a4+a8= = = .
探索延拓创新
命题方向 等比数列性质的综合应用
[例3] 试判断能否构成一个等比数列{an}，使其满足下列三个条件：
①a1+a6=11;②a3•a4= ;③至少存在一个自然数m,使 am-1,am,am+1+ 依次成等差数列，若能，请写出这个数列的通项公式;若不能，请说明理由.
[分析] 由①②条件确定等比数列{an}的通项公式，再验证是否符合条件③.
[解析] 假设能够构造出符合条件①②的等比数列{an},不妨设数列{an}的公比为q,由条件①②及a1•a6=a3•a4,得
a1+a6=11 a1= a1=
，解得 ，或
a1•a6= a6= a6= .
a1= a1=
从而 ，或 .
q=2 q=
故所求数列的通项为an= •2n-1或an= •26-n.
对于an= •2n-1,若存在题设要求的m,则
2am= am-1+(am+1+ ),得
2( •2m-1)= • •2m-2+ •2m+ ,得
2m+8=0,即2m=-8,故符合条件的m不存在.
对于an= •26-n,若存在题设要求的m，同理有
26-m-8=0,即26-m=8,∴m=3.
综上所述，能够构造出满足条件①②③的等比数列，通项为an= •26-n.
[说明] 求解数列问题时应注意方程思想在解题中的应用.
变式应用3 在等差数列{an}中，公差d≠0,a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1,a3,ak1,ak2,…,akn,……成等比数列，求数列{kn}的通项kn.
[解析] 由题意得a22=a1a4，
即(a1+d) 2=a1(a1+3d)，
又d≠0,∴a1=d.
∴an=nd.
又a1,a3,ak1,ak2,……,akn,……成等比数列，
∴该数列的公比为q= = =3.
∴akn=a1•3n+1.
又akn=knd,∴kn=3n+1.
所以数列{kn}的通项为kn=3n+1.
名师辨误做答
[例4] 四个实数成等比数列，且前三项之积为1，后三项之和为1 ，求这个等比数列的公比.
[误解] 设这四个数为aq-3,aq-1,aq,aq3,由题意得
a3q-3=1, ①
aq-1+aq+aq3=1 . ②
由①得a=q,把a=q代入②并整理，得4q4+4q2-3=0,解得q2= 或q2=- (舍去)，故所求的公比为 .
[辨析] 上述解法中，四个数成等比数列，设其公比为q2,则公比为正数，但题设并无此条件，因此导致结果有误.
[正解] 设四个数依次为a,aq,aq2,aq3,由题意得
(aq)3=1, ①
aq+aq2+aq3=1 . ②
由①得a=q-1,把a=q-1代入②并整理，得4q2+4q-3=0,解得q= 或q=- ,故所求公比为 或- .
课堂巩固训练
一、选择题
1.在等比数列{an｝中，若 a6=6,a9=9,则a3等于()
A.4 B. C. D.3?
[答案] A?
[解析] 解法一：∵a6=a3•q3,
∴a3•q3=6.?
a9=a6•q3，
∴q3= = .
∴a3= =6× =4.
解法二：由等比数列的性质，得
a26=a3•a9，
∴36=9a3，∴a3=4.
2.在等比数列{an｝中,a4+a5=10,a6+a7=20,则a8+a9等于()
A.90B.30C.70D.40
[答案] D
[解析] ∵q2= =2,?
∴a8+a9=(a6+a7)q2=20q2=40.
3.如果数列{an｝是等比数列，那么()?
A.数列{a2n｝是等比数列 B.数列{2an｝是等比数列
C.数列{lgan｝是等比数列 D.数列{nan｝是等比数列
[答案] A
[解析] 数列{a2n｝是等比数列，公比为q2,故选A.
二、填空题
4.若a,b,c既成等差数列，又成等比数列，则它们的公比为 .?
[答案] 1?
2b=a+c,
[解析] 由题意知
b2=ac,
解得a=b=c,∴q=1.
5.在等比数列{an｝中，公比q=2,a5=6,则a8= .?
[答案] 48
[解析] a8=a5•q8-5=6×23=48.
三、解答题
6.已知{an}为等比数列，且a1a9=64,a3+a7=20，求a11.?
[解析] ∵{an}为等比数列,?
∴a1•a9=a3•a7=64,又a3+a7=20,?
∴a3,a7是方程t2-20t+64=0的两个根.?
∴a3=4,a7=16或a3=16,a7=4,?
当a3=4时，a3+a7=a3+a3q4=20,?
∴1+q4=5，∴q4=4.?
当a3=16时，a3+a7=a3(1+q4)=20,
∴1+q4= ，∴q4= .?
∴a11=a1q10=a3q8=64或1.
课后强化作业
一、选择题
1.在等比数列{an}中，a4=6,a8=18,则a12=()
A.24B.30C.54D.108?
[答案] C?
[解析] ∵a8=a4q4,∴q4= = =3,
∴a12=a8•q4=54.
2.在等比数列{an｝中，a3=2-a2,a5=16-a4,则a6+a7的值为()
A.124B.128 C.130 D.132
[答案] B?
[解析] ∵a2+a3=2,a4+a5=16,?
又a4+a5=(a2+a3)q2,
∴q2=8.?
∴a6+a7=(a4+a5)q2=16×8=128.
3.已知{an｝为等比数列，且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5等于()
A.5 B.10C.15 D.20?
[答案] A?
[解析] ∵a32=a2a4,a52=a4a6,?
∴a32+2a3a5+a52=25,
∴(a3+a5) 2=25,?
又∵an>0,∴a3+a5=5.
4.在正项等比数列{an｝中，a1和a19为方程x2-10x+16=0的两根，则a8•a10•a12等于()
A.16B.32C.64 D.256?
[答案] C?
[解析] 由已知，得a1a19=16,?
又∵a1•a19=a8•a12=a102,
∴a8•a12=a102=16,又an>0,?
∴a10=4,
∴a8•a10•a12=a103=64.
5.已知等比数列{an}的公比为正数，且a3•a9=2a25,a2=1,则a1=()?
A. B. C. D.2?
[答案] B?
[解析] ∵a3•a9=a26,又∵a3a9=2a25,?
∴a26=2a25,∴( )2=2,?
∴q2=2,∵q>0,∴q= .
又a2=1,∴a1= = = .
6.在等比数列{an｝中，an>an+1，且a7•a11=6,a4+a14=5,则 等于()
A. B. C. D.6
[答案] A
a7•a11=a4•a14=6
[解析] ∵
a4+a14=5
a4=3 a4=2
解得 或 .
a14=2 a14=3
又∵an>an+1,∴a4=3,a14=2.
∴ = = .
7.已知等比数列{an｝中，有a3a11=4a7,数列{bn｝是等差数列，且b7=a7,则b5+b9等于()
A.2 B.4C.8D.16
[答案] C
[解析] ∵a3a11=a72=4a7,∵a7≠0,
∴a7=4,∴b7=4,
∵{bn}为等差数列，∴b5+b9=2b7=8.
8.已知0
()
A.等差数列?B.等比数列?
C.各项倒数成等差数列? D.以上都不对?
[答案] C?
[解析] ∵a,b,c成等比数列，∴b2=ac.?
又∵ + =logna+lognc=lognac
=2lognb= ,?
∴ + = .
二、填空题
9.等比数列{an｝中，an>0，且a2=1+a1,a4=9+a3,则a5-a4等于 .
[答案] 27
[解析] 由题意，得a2-a1=1,a4-a3=(a2-a1)q2=9,
∴q2=9,又an>0,∴q=3.?
故a5-a4=(a4-a3)q=9×3=27.
10.已知等比数列{an｝的公比q=- ,则 等于 .
[答案] -3
[解析] =
= =-3.
11.等比数列{an}中，an>0,且a5•a6=9,则log3a2+log3a9= .
[答案] 2
[解析] ∵an>0,∴log3a2+log3a9=log3a2a9
=log3a5a6=log39=log332=2.
12.(2011•广东文，11)已知{an｝是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q= .
[答案] 2?
[解析] 本题主要考查等比数列的基本公式，利用等比数列的通项公式可解得.
解析：a4-a3=a2q2-a2q=4，?
因为a2=2，所以q2-q-2=0，解得q=-1，或q=2.
因为an为递增数列，所以q=2.
三、解答题
13.在等比数列{an｝中，已知a4•a7=-512,a3+a8=124,且公比为整数，求a10.
[解析] ∵a4•a7=a3•a8=-512，
a3+a8=124 a3=-4 a3=128
∴ ，解得 或 .
a3•a8=-512 a8=128 a8=-4
又公比为整数，
∴a3=-4,a8=128,q=-2.
∴a10=a3•q7=(-4)×(-2)7=512.
14.设{an｝是各项均为正数的等比数列，bn=log2an，若b1+b2+b3=3,b1•b2•b3=-3,求此等比数列的通项公式an.?
[解析] 由b1+b2+b3=3,?
得log2(a1•a2•a3)=3，
∴a1•a2•a3=23=8，
∵a22=a1•a3，∴a2=2,又b1•b2•b3=-3,
设等比数列{an｝的公比为q，得?
log2( )•log2(2q)=-3.
解得q=4或 ，
∴所求等比数列{an｝的通项公式为
an=a2•qn-2=22n-3或an=25-2n.
15.某工厂2010年生产某种机器零件100万件，计划到2012年把产量提高到每年生产121万件.如果每一年比上一年增长的百分率相同，这个百分率是多少?2011年生产这种零件多少万件?.
[解析] 设每一年比上一年增长的百分率为x,则从2010年起，连续3年的产量依次为a1=100,a2=a1(1+x),a3=a2(1+x),即a1=100,a2=100(1+x),a3=100(1+x) 2,成等比数列.
由100(1+x) 2=121得(1+x) 2=1.21,
∴1+x=1.1或1+x=-1.1,?
∴x=0.1或x=-2.1(舍去)，?
a2=100(1+x)=110(万件)，?
所以每年增长的百分率为10%，2011年生产这种零件110万件.
16.等差数列{an}中，a4=10，且a3,a6,a10成等比数列.求数列{an}前20项的和S20.
[解析] 设数列{an}的公差为d，则a3=a4-d=10-d,a6=a4+2d=10+2d,a10=a4+6d=10+6d.
由a3,a6,a10成等比数列得a3a10=a26，?
即(10-d)(10+6d)=(10+2d)2,?
整理得10d2-10d=0,解得d=0或d=1.
当d=0时，S20=20a4=200，?
当d=1时，a1=a4-3d=10-3×1=7,?
于是，S20=20a1+ d=20×7+190=330.